Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 5.3.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$ comme $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$ .

$3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $9 x^{\frac{1}{3}} + C$