Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{5} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{5} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sin (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 9

Développez ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 9.5

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 9.6

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.11

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 9.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 9.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9.14

Soustrayez $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9.15

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{2}$ et $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Étape 9.16

Déplacez $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Étape 15.2

Simplifiez

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$