Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 + x}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{1 + x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{1 + x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{1 + x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$