Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 1

Écrivez $e^{- \frac{x}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = - \frac{x}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d x$ , donc $- 2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- 2 e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$