Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(x - 9)}^{2}$ par $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x - 9$ à partir de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $x - 9$ à partir de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 10.4

Associez $6$ et $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.2.2

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x - 54$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.3.2

Factorisez $6$ à partir de $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.5

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.7

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$