Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{3} (x)$

Étape 1

Écrivez $\cos^{3} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Étape 6

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$