Calcul infinitésimal Exemples

$f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$

Étape 1

La fonction $F (p)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (p)$ .

$F (p) = \int f (p) d p$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p) d p$

Étape 3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\int 8 {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $p$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

Étape 5

Laissez $u = p^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 p d p$ , donc $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = p^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d p}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $p^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $p^{2} - 1$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $p$ est $0$ .

$2 p + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $2 p$ et $0$ .

$2 p$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

Étape 8.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int u^{3} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{4} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$u^{4} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $p^{2} - 1$ .

${(p^{2} - 1)}^{4} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 1)}^{4} + C$