Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $\arctan (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (\frac{x}{2})$ et $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $x$ et $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Étape 7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Étape 8

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 8.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 9

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Réécrivez $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ comme $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$