Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$