Calcul infinitésimal Exemples

$2 e^{2 x}$

Étape 1

Écrivez $2 e^{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 e^{2 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 e^{2 x} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{2 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{u} d u$

Étape 8.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$\int e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $e^{2 x} + C$