Calcul infinitésimal Exemples

$5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Étape 1

Écrivez $5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ comme une fonction.

$f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 {(4 x - 3)}^{4} (4) d x$

Étape 4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\int 20 {(4 x - 3)}^{4} d x$

Étape 5

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$20 \int {(4 x - 3)}^{4} d x$

Étape 6

Laissez $u = 4 x - 3$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 4 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$20 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Étape 7

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$20 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$20 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $20$ .

$\frac{20}{4} \int u^{4} d u$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $4$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} \int u^{4} d u$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 (1)} \int u^{4} d u$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1} \int u^{4} d u$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} \int u^{4} d u$

Étape 9.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 \int u^{4} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$ .

$5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Étape 11.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{5} + C$

Étape 11.2.3

Multipliez $u^{5}$ par $1$ .

$u^{5} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 3$ .

${(4 x - 3)}^{5} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ .

$F (x) =$ ${(4 x - 3)}^{5} + C$