Calcul infinitésimal Exemples

$4 \sin (3 x)$

Étape 1

Écrivez $4 \sin (3 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 4 \sin (3 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 \sin (3 x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sin (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 6

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$\frac{4}{3} \int \sin (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{4}{3} (- \cos (u) + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{4}{3} (- \cos (u)) + C$

Étape 10.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{4 \cos (u)}{3} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- \frac{4 \cos (3 x)}{3} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{3} \cos (3 x) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{3} \cos (3 x) + C$