Calcul infinitésimal Exemples

$4 \cos (8 x)$

Étape 1

Écrivez $4 \cos (8 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 4 \cos (8 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 \cos (8 x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \cos (8 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 5.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{8}$ .

$4 \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $4$ .

$\frac{4}{8} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 \cos (8 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$