Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x - 1}{4 x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 1$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

$\frac{(4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(4 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + 0)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) \cdot 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Soustrayez $4 (4 x)$ de $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $4 \cdot 1$ et $0$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{4 + 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{{(4 x + 1)}^{2}}$