Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3

Remettez dans l’ordre $2$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Divisez $x^{2} + 2$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									+	$1$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$x + C + \arctan (x) + C$

Étape 10

Simplifiez

$x + \arctan (x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \arctan (x) + C$