Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 7

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{- 3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \sqrt{x} d x$

Étape 10

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

Simplifiez

$- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$