Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Étape 3.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$