Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 4

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$