Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} - 4 x^{2} + 4 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.2

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$