Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (3 x - 5) (2 x + 4) d x$

Étape 3

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x (2 x + 4) - 5 (2 x + 4) d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x + 4) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.4

Déplacez $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.5

Déplacez $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int 6 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 6 (x^{1} x) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 6 (x^{1} x^{1}) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 6 x^{2} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.12

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 5 \cdot 4 d x$

Étape 3.13

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 20 d x$

Étape 3.14

Soustrayez $10 x$ de $12 x$ .

$\int 6 x^{2} + 2 x - 20 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int - 20 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Étape 10

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$