Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(3 x - 2)}^{2} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x - 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{3} d u$

Étape 4

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{2}}{3} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 2$ .

$\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$