Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x + 3) (4 x - 5)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x + 3) (4 x - 5) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5) d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (4 x) + x \cdot - 5 + 3 (4 x - 5) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (4 x) + x \cdot - 5 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $4$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 5$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 x^{1 + 1} - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 12 x + 3 \cdot - 5 d x$

Étape 3.11

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\int 4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15 d x$

Étape 3.12

Additionnez $- 5 x$ et $12 x$ .

$\int 4 x^{2} + 7 x - 15 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x^{2} d x + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{2} d x + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 7 x d x + \int - 15 d x$

Étape 7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 \int x d x + \int - 15 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 15 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 15 x + C$

Étape 10

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 15 x + C$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 15 x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 15 x + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 15 x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x + 3) (4 x - 5)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} - 15 x + C$