Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Étape 3

Laissez $u_{2} = \cot (π x)$ . Alors $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , donc $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = \cot (π x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.2.2

La dérivée de $\cot (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.3

Différenciez.

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Étape 3.1.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Étape 3.1.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Étape 4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $π$ à partir de $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{π}$ et $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$