Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 14

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 14.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 14.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 15

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 17

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 18

Simplifiez

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 19.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Étape 20.1.2

Associez $\sin (4 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.4

Associez $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 20.5

Multipliez $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

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Étape 20.5.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

Étape 20.5.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Étape 22

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$