Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2 x} - e^{3 x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - e^{3 x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - e^{3 x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - e^{3 x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{3 x} d x$

Étape 7

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 7.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$