Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{6}{15} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $15$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{15} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$