Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{x}{6})$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos (\frac{x}{6}) d x$

Étape 3

Laissez $u = \frac{x}{6}$ . Alors $d u = \frac{1}{6} d x$ , donc $6 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \frac{x}{6}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{6}$ .

$\int \cos (u) (1 \cdot 6) d u$

Étape 4.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\int \cos (u) \cdot 6 d u$

Étape 4.3

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\int 6 \cos (u) d u$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \cos (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$6 (\sin (u) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$6 \sin (u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{6}$ .

$6 \sin (\frac{x}{6}) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \sin (\frac{1}{6} x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $6 \sin (\frac{1}{6} x) + C$