Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Étape 3

Laissez $u = 7 x^{2} + 2$ . Alors $d u = 14 x d x$ , donc $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 7 x^{2} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 x + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$14 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Étape 4

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{14}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{14}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{14}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $14$ par $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $42$ .

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Étape 8.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$