Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Étape 1

La fonction $G (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 4

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6

Développez $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.3

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.8

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.11

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Étape 6.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Étape 6.13.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$