Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Étape 4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 5.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Étape 6.3

Déplacez $5$ à gauche de $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $5$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 10.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Réécrivez $- 2 (- u^{- 1} + C)$ comme $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Étape 12.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$