Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Étape 8

Comme $- 6 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6 y$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y \int x d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x - 6 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $- 6$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y \frac{- 6 x^{2}}{2} + C$

Étape 10.3.2

Associez $y$ et $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 6 x^{2})}{2} + C$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 10.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $y (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2} + C$

Étape 10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Étape 10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Étape 10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 3 x^{2})}{1} + C$

Étape 10.3.3.2.4

Divisez $y (- 3 x^{2})$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$