Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{- 4} d x + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - 2 x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 9.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + \int 4 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - x^{- 1} + C + 4 x + C$

Étape 12

Simplifiez

$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 x^{- 4} - 2 x^{- 3} + x^{- 2} + 4$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + 4 x + C$