Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 5$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 3 (x + h) + 5$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 3 x - 3 h + 5$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 3 x - 3 h + 5$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 3 x - 3 h + 5$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $- 3 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 3 h - 3 x + 5$

Étape 2.2.2

Déplacez $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $4 h x$ et $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 5$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 5$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5 - (2 x^{2} - 3 x + 5)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 5}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5 - 2 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5 - 2 x^{2} + 3 x - 1 \cdot 5}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 3 h - 3 x + 5 - 2 x^{2} + 3 x - 5}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h - 3 x + 5 + 0 + 3 x - 5}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h - 3 x + 5 + 3 x - 5}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h + 0 + 5 - 5}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h + 5 - 5}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $2 h^{2} + 4 h x - 3 h$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 3 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $2 h^{2} + 4 h x - 3 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $2 h^{2}$ .

$\frac{h (2 h) + 4 h x - 3 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $4 h x$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) - 3 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot - 3}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (2 h) + h (4 x)$ .

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot - 3}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (2 h + 4 x) + h \cdot - 3$ .

$\frac{h (2 h + 4 x - 3)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 h + 4 x - 3)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2 h + 4 x - 3$ par $1$ .

$2 h + 4 x - 3$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h$ et $4 x$ .

$4 x + 2 h - 3$

Étape 5