Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 1}$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 1}$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 1}$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 1}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - (\sqrt{x^{2} + 1})}{h}$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1}}{h}$

Étape 5