Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5