Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Étape 2.1.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Étape 2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Étape 2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

Étape 2.1.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $h x$ et $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{2}$ de $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Étape 4.1.2

Additionnez $\frac{h^{2}}{2} + h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez $h$ à partir de $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $h$ à partir de $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $h$ à partir de $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $h$ à partir de $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Étape 4.1.4

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Étape 4.1.5

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Étape 4.1.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Étape 4.2

Associez $h$ et $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Étape 5