Calcul infinitésimal Exemples

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{H (x + h) - H x}{h} = \frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} - (\frac{5}{6 x^{5}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{5}{6 x^{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ par $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{5}{6 x^{5}}$ par $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5}) - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 {(x + h)}^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - (5 x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Simplifiez

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Étape 4.1.5.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.4.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.4.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - 5 (x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Soustrayez $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $5 x^{4} h$ de $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Factorisez $h$ à partir de $- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5}$ .

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Étape 4.1.5.8.1

Factorisez $h$ à partir de $- 5 x^{4} h$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Factorisez $h$ à partir de $- 10 x^{3} h^{2}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.3

Factorisez $h$ à partir de $- 10 x^{2} h^{3}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.4

Factorisez $h$ à partir de $- 5 x h^{4}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.5

Factorisez $h$ à partir de $- h^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.6

Factorisez $h$ à partir de $h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h)$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.7

Factorisez $h$ à partir de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.8

Factorisez $h$ à partir de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.1.5.8.9

Factorisez $h$ à partir de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

$\frac{\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x^{3} h$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x^{2} h^{2}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x h^{3}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3})$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.14.1

Réécrivez $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ comme $- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ .

$\frac{5 (- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 4.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Étape 5