Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{8}{x + 3}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{8}{(x + h) + 3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{8}{x + h + 3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{8}{x + h + 3}$ .

$\frac{8}{x + h + 3}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{8}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{8}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{8}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{8}{x + 3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{8}{x + h + 3} - (\frac{8}{x + 3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{8}{x + h + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{8}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{8}{x + 3}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{8}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{8}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{8}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{8}{x + h + 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{8}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{8}{x + 3}$ par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{8 (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{8 (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{8 (x + 3) - 8 (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{8 (x + 3) - 8 (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $8 (x + 3) - 8 (x + h + 3)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 (x + h + 3)$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3) + 8 (- (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8 (x + 3) + 8 (- (x + h + 3))$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3 - (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{8 (x + 3 - x - h - 1 \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{8 (x + 3 - x - h - 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{8 (0 + 3 - h - 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{\frac{8 (3 - h - 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{8 (- h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{\frac{8 \cdot - 1 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Associez les exposants.

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Étape 4.1.5.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{- (8 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 8 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{8 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{8 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 h}{(x + 3) (x + h + 3)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 8 h$ .

$\frac{h \cdot - 8}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 8}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Étape 5