Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ .

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1 - x}{3 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 + x + h) (3 + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ par $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1 - x}{3 + x}$ par $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 + x + h) (3 + x)$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(1 - x - h) (3 + x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.1.5.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Développez $(- 1 + x) (3 + x + h)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.3

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $- x$ et $3 x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Soustrayez $h$ de $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Additionnez $- h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.15

Additionnez $- h x$ et $x h$ .

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Étape 4.1.5.15.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.15.2

Additionnez $- 1 x h$ et $x h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.16

Additionnez $- 2 x + 2 x - 4 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.17

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.18

Soustrayez $4 h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 4 h$ .

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Étape 5