Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{1 - x - h}$ .

$\frac{1}{1 - x - h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{1 - x - h} - (\frac{1}{1 - x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{1 - x - h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{1 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - x - h) (1 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - x - h}$ par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 - x}$ par $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - x - h) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x - h)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{1 - x - 1 \cdot 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.1.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + 1 x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $- - h$ .

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Étape 4.1.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + 1 h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{- x + 0 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(1 - x) (1 - x - h)}$

Étape 5