Calcul infinitésimal Exemples

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (q + h) - f q}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = q + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $q$ par $q + h$ dans l’expression.

$C (q + h) = 0.1 {(q + h)}^{2} + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(q + h)}^{2}$ comme $(q + h) (q + h)$ .

$C (q + h) = 0.1 ((q + h) (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(q + h) (q + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$C (q + h) = 0.1 (q (q + h) + h (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$C (q + h) = 0.1 (q \cdot q + q h + h (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$C (q + h) = 0.1 (q \cdot q + q h + h q + h \cdot h) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $q$ par $q$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + q h + h q + h \cdot h) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + q h + h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $q h$ et $h q$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $q$ et $h$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + h q + h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h q$ et $h q$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + 2 h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.1 (2 h q) + 0.1 h^{2} + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $0.1$ .

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.2 (h q) + 0.1 h^{2} + 12 (q + h) + 400$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$ .

$0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $12 q$ .

$0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Étape 2.2.2

Déplacez $0.1 q^{2}$ .

$0.2 h q + 0.1 h^{2} + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $0.2 h q$ et $0.1 h^{2}$ .

$0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$C (q + h) = 0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

$C (q + h) = 0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{C (q + h) - C q}{h} = \frac{0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)$ .

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Étape 4.1.1.1

Déplacez $h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.2 q h + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 h^{2}$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.2 q h + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $0.2 q h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 q^{2}$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $0.1$ à partir de $12 h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 0.1 (120 h) + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.6

Factorisez $0.1$ à partir de $12 q$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.7

Factorisez $0.1$ à partir de $400$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Étape 4.1.1.8

Factorisez $0.1$ à partir de $- (0.1 q^{2} + 12 q + 400)$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.9

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.10

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (h^{2} + 2 q h) + 0.1 q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2}) + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.11

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2}) + 0.1 (120 h)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.12

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h) + 0.1 (120 q)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.13

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q) + 0.1 \cdot 4000$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000) + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.1.14

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000) + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 10 (0.1 q^{2}) - 10 (12 q) - 10 \cdot 400)}{h}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $0.1$ par $- 10$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 10 (12 q) - 10 \cdot 400)}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $12$ par $- 10$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 120 q - 10 \cdot 400)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 10$ par $400$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 120 q - 4000)}{h}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 1 q^{2}$ comme $- q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - q^{2} - 120 q - 4000)}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $q^{2}$ de $q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 120 q + 4000 + 0 - 120 q - 4000)}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 120 q + 4000 - 120 q - 4000)}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $120 q$ de $120 q$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 0 + 4000 - 4000)}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 4000 - 4000)}{h}$

Étape 4.1.9

Soustrayez $4000$ de $4000$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez $h^{2} + 2 q h + 120 h$ et $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h)}{h}$

Étape 4.1.11

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 q h + 120 h$ .

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{0.1 (h \cdot h + 2 q h + 120 h)}{h}$

Étape 4.1.11.2

Factorisez $h$ à partir de $2 q h$ .

$\frac{0.1 (h (h) + h (2 q) + 120 h)}{h}$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $h$ à partir de $120 h$ .

$\frac{0.1 (h (h) + h (2 q) + h \cdot 120)}{h}$

Étape 4.1.11.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 q)$ .

$\frac{0.1 (h (h + 2 q) + h \cdot 120)}{h}$

Étape 4.1.11.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 q) + h \cdot 120$ .

$\frac{0.1 (h (h + 2 q + 120))}{h}$

$\frac{0.1 h (h + 2 q + 120)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.1 h (h + 2 q + 120)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $0.1 (h + 2 q + 120)$ par $1$ .

$0.1 (h + 2 q + 120)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$0.1 h + 0.1 (2 q) + 0.1 \cdot 120$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $0.1$ .

$0.1 h + 0.2 q + 0.1 \cdot 120$

Étape 4.3.2

Multipliez $0.1$ par $120$ .

$0.1 h + 0.2 q + 12$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $0.1 h$ et $0.2 q$ .

$0.2 q + 0.1 h + 12$

Étape 5