Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $3 \sqrt{x + h} + 2$ .

$3 \sqrt{x + h} + 2$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{3 \sqrt{x + h} + 2 - (3 \sqrt{x} + 2)}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + h}$ comme ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 - (3 \sqrt{x} + 2)}{h}$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 - (3 x^{\frac{1}{2}} + 2)}{h}$

Étape 4.3

Laissez $u = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{3 u - 3 x^{\frac{1}{2}} + 0}{h}$

Étape 4.3.2

Additionnez $3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$\frac{3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Étape 4.4

Factorisez $3$ à partir de $3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$\frac{3 (u) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Étape 4.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Étape 4.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{3 (u - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Étape 4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Étape 5