Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (x) - x$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = (x + h) \ln (x + h) - (x + h)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$ .

$x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (x + h) - x - h$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x - h$

Étape 2.2.3

Déplacez $h \ln (h + x)$ .

$x \ln (h + x) - x - h + h \ln (h + x)$

Étape 2.2.4

Déplacez $x \ln (h + x)$ .

$- x - h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- h$ .

$- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x) - x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x)) - - x}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 1 x}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + x}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 0}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)$ et $0$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x \ln (h + x)$ .

$\frac{- h - (- x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Étape 4.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- h - (- x \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Étape 4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $h \ln (h + x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Étape 4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Étape 4.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))}{h}$

Étape 4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Étape 4.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.7.1

Réécrivez $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ comme $- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Étape 4.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x)}{h}$

Étape 5