Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - 2 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 4 - 2 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 - 2 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 - 2 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 4 - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 4 - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 4 - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 4 - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2}$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (x + h) = 4 - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $4 - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2}$ .

$4 - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $4$ .

$- 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + 4$

Étape 2.2.2

Déplacez $- 2 x^{2}$ .

$- 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + 4$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4 h x$ et $- 2 h^{2}$ .

$- 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4$

$f (x) = 4 - 2 x^{2}$

$f (x + h) = - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4$

$f (x) = 4 - 2 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4 - (4 - 2 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 4 - (- 2 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4 - 4 - (- 2 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + 4 - 4 + 2 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x + 0 + 4 - 4}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x + 4 - 4}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 2 h^{2} - 4 h x$ et $0$ .

$\frac{- 2 h^{2} - 4 h x}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $2 h$ à partir de $- 2 h^{2} - 4 h x$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $2 h$ à partir de $- 2 h^{2}$ .

$\frac{2 h (- h) - 4 h x}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $2 h$ à partir de $- 4 h x$ .

$\frac{2 h (- h) + 2 h (- 2 x)}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (- h) + 2 h (- 2 x)$ .

$\frac{2 h (- h - 2 x)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 h (- h - 2 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2 (- h - 2 x)$ par $1$ .

$2 (- h - 2 x)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- h) + 2 (- 2 x)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 h + 2 (- 2 x)$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 h - 4 x$

Étape 4.2.3.3

Remettez dans l’ordre $- 2 h$ et $- 4 x$ .

$- 4 x - 2 h$

Étape 5