Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{2}{x^{2}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{2}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{2}{x^{2}}$ par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2}) - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = x + h$ .

$\frac{\frac{2 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez

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Étape 4.1.5.3.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.4

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{2 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Associez les exposants.

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Étape 4.1.5.4.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{- (2 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 2 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Étape 5