Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ comme $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Étape 2.1.2.2

Développez $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.10

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.3.10.1

Déplacez $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.10.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Étape 2.1.2.4

Additionnez $4 x h$ et $4 h x$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $4 h x$ et $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Étape 2.1.2.5

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Étape 2.1.2.6

Soustrayez $2 h$ de $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Étape 2.1.2.7

La réponse finale est $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $8 h x$ et $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $4 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $4 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ et $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $4 h$ à partir de $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $4 h$ à partir de $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $4 h$ à partir de $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $4 (h + 2 x - 1)$ par $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Étape 4.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $4 h$ et $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

Étape 5