Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x - 1}$

Étape 1

Définissez $2 x + \frac{2}{x - 1}$ égal à $0$ .

$2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x - 1, 1$

Étape 2.1.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x - 1, 1$

Étape 2.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 1$

Étape 2.2

Multiplier chaque terme dans $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ par $x - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 x + \frac{2}{x - 1} = 0$ par $x - 1$ .

$2 x (x - 1) + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x - 1} (x - 1) = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0 (x - 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $0$ par $x - 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x + 2 = 0$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 = 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$2 (x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - x + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2} - x + 1$ par $1$ .

$x^{2} - x + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3