Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x y) = x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

Étape 5.2

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

Étape 5.3

Ajoutez $y \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y) + y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.4.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) + 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- x \sin (x y) + 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

Étape 5.5.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

Étape 5.5.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.5.1

Réécrivez $- (x \sin (x y) - 1)$ comme $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

Étape 5.5.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$