Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $- x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $- 2 h x$ et $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - (- x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 1 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $h^{2} + 2 h x + x^{2}$ comme ${(h + x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 h x = 2 \cdot h \cdot x$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{- (h^{2} + 2 \cdot h \cdot x + x^{2}) + x^{2}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = h$ et $b = x$ .

$\frac{- {(h + x)}^{2} + x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4

Remettez dans l’ordre $- {(h + x)}^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - {(h + x)}^{2}}{h}$

Étape 4.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = h + x$ .

$\frac{(x + h + x) (x - (h + x))}{h}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (h + x))}{h}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + h) (x - h - x)}{h}$

Étape 4.1.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + h) (- h + 0)}{h}$

Étape 4.1.6.4

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{h}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{h}$

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- (2 x + h)$ par $1$ .

$- (2 x + h)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x) - h$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x - h$

Étape 5