Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 4 x + 6$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 4 (x + h) + 6$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 (x + h) + 6$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 x - 4 h + 6$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 x - 4 h + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 x - 4 h + 6$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 x - 4 h + 6$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 x - 4 h + 6$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 4 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h - 4 x + 6$

Étape 2.2.4

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6$

Étape 2.2.5

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6$

Étape 2.2.6

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6$

$f (x) = x^{3} - 4 x + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6$

$f (x) = x^{3} - 4 x + 6$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6 - (x^{3} - 4 x + 6)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6 - x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6 - x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 4 h - 4 x + 6 - x^{3} + 4 x - 6}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h - 4 x + 6 + 0 + 4 x - 6}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h - 4 x + 6 + 4 x - 6}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h + 6 - 6}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h$ et $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 4 h}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $- 4 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Étape 4.1.9.6

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Étape 4.1.9.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 4$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 4)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 4)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 4$ par $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 4$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 4$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 4$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4$

Étape 5